设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(如

设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(如

题型:杭州二模难度:来源:
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(如图)
(1)证明:无论P点在什么位置,总有|


OP
|2=|


OQ


OR
|(O为坐标原点)

(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围.魔方格
答案
(1)设OP的方程为 y=kx,AR的方程为 y=
b
a
(x-a)

解得 


OR
=(
-ab
ak-b
-kab
ak-b
)
,同理可得


OQ
=(
ab
ak+b
kab
ak+b
)

|


OQ


OR
|=|
-ab
ak-b
ab
ak+b
+
-kab
ak-b
kab
ak+b
|
=|
a2b2(1+k2)
|a2k2-b2|



OP
=(m,n)
,则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2=
a2b2
b2-a2k2
n2=
k2a2b2
b2-a2k2

|


OP
|2=m2+n2=
a2b2
b2-a2k2
+
k2a2b2
b2-a2k2
=
a2b2(1+k2)
b2-a2k2
 
∵点P在双曲线上,∴b2-a2k2>0,无论点P在什么位置,总有  |


OP
|2=|


OQ


OR
|

(2)由条件得:
a2b2(1+k2)
b2-a2k2
=4ab
,即  k2=
4b2-ab
ab+4a2
>0

∴4b>a,∴e=
c
a
=


a2+b2
a


a2+(
a
4
)
2
a
=


17
4
,即 e>


17
4
举一反三
与直线3x+4y+5=0的方向向量共线的一个单位向量是(  )
A.(3,4)B.(4,-3)C.(
3
5
4
5
)
D.(
4
5
,-
3
5
)
题型:不详难度:| 查看答案
已知向量


a
=(cosx,sinx),


b
=(sin2x,1-cos2x),


c
=(0,1),x∈(0,π)

(Ⅰ)向量


a


b
是否共线?请说明理由.
(Ⅱ)求函数f(x)=|


b
|-(


a
+


b
)•


c
的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
设F1,F2为椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求
|PF1|
|PF2|
的值.
题型:上海难度:| 查看答案
设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则


OA


OB
=(  )
A.
3
4
B.-
3
4
C.3D.-3
题型:江西难度:| 查看答案
(1)已知向量


p
=


a
+t


b


q
=


c
+s


d
(s、t是任意实数),其中


a
=(1,2),


b
=(3,0),


c
=(1,-1),


d
=(3,2),求向量


p


q
交点的坐标;
(2)已知


a
=(x+1,0),


b
=(0,x-y),


c
=(2,1),求满足等式x


a
+


b
=


c
的实数x、y的值.
题型:不详难度:| 查看答案
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