已知点P(3,0),点A、B分别在x轴负半轴和y轴上,且BP•BA=0,点C满足AC=2BA,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2
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已知点P(3,0),点A、B分别在x轴负半轴和y轴上,且BP•BA=0,点C满足AC=2BA,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2
题型:不详
难度:
来源:
已知点P(3,0),点A、B分别在x轴负半轴和y轴上,且
BP
•
BA
=0,点C满足
AC
=2
BA
,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点Q(1,0)且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N,若D(-1,0),且
DM
•
DN
>0,求k的取值范围.
答案
(1)设A(a,0)(a<0),B(0,b),C(x,y)(1分)
则
AC
=(x-a,y),
BA
=(a,-b),
BP
=(3,-b)
∵
BP
•
BA
=0
,
AC
=2
BA
∴
3a+
b
2
=0
x-a=2a
y=-2b
(4分)
消去a,b得y
2
=-4x∵a<0∴x=3a<0
故曲线E的方程为y
2
=-4x(x<0)(6分)
(2)设直线l方程为y=k(x-1)(7分)
由
y=k(x-1)
y
2
=-4x
得k
2
x
2
-2(k
2
-2)x+k
2
=0(8分)
∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△>0
即△=4(k
2
-2)
2
-4k
2
k
2
>0∴k
2
<1①(9分)
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)则
DM
=(x
1
+1,y
1
)
DN
=(x
2
+1,y
2
)
∴
x
1
+
x
2
=
2(
k
2
-2)
k
2
x
1
x
2
=1
∴
DM
•
DN
=(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=
8
k
2
-4
k
2
>0
解得k
2
>
1
2
②(11分)
由①②联立解得:
1
2
<k
2
<1
∴-1<k<-
2
2
或
2
2
<k<1(12分)
举一反三
已知点O是△ABC内的一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,|
a
|=2,|
b
|=1,|
c
|=3.
(1)设实数t满足(
AB
-t
OC
)•
OC
=0,求t的值;
(2)试用
a
,
b
表示
c
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
P为△ABC所在平面内一点,且
5
AP
-2
AB
-
AC
=
0
,则△PAB的面积与△ABC的面积的比值为( )
A.
1
3
B.
1
6
C.
2
5
D.
1
5
题型:淄博三模
难度:
|
查看答案
如图,平行四边形ABCD中,M是DC的中点,N在线段BC上,且NC=2BN.已知
AM
=
c
,
AN
=
d
,试用
c
,
d
表示
AB
和
AD
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设
AB
=
a
,
AD
=
b
,
AP
=
c
.
(1)试用
a
,
b
,
c
表示出向量
BM
;
(2)求BM的长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图
,
AM
=
1
3
AB
,
AN
=
1
3
AC
.求证:
MN
=
1
3
BC
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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