已知OP=（2，1），OA=（1，7），OB=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．（1）求使MA•MB取最小值时的OM；（2）对（1）中的点M，求∠

题型：不详难度：来源：

已知

OP

=（2，1），

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．
（1）求使

MA

•

MB

取最小值时的

OM

；
（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．

答案

（1）设M（x，y），则

OM

=(x，y)，
由题意可知

OM

∥

OP

，又

OP

=(2，1)．
所以x-2y=0即x=2y，所以M（2y，y），
则

MA

•

MB

=(1-2y，7-y)•(5-2y，1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8，
当y=2时，

MA

•

MB

取得最小值，
此时M（4，2），即

OM

=(4，2)．
（2）∵cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

(-3，5)•(1，-1)

34 × 2

=-

4 17

17

．
∴∠AMB的余弦值为-

4 17

17