在斜三棱柱中,平面平面ABC,,,.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.
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在斜三棱柱中,平面平面ABC,,,.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
在斜三棱柱
中,平面
平面ABC,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)若
,求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2)
.
解析
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用面面垂直的性质得BC⊥平面A
1
ACC
1
,则利用线面垂直的性质得A
1
A⊥BC,由A
1
B⊥C
1
C,利用平行线A
1
A∥C
1
C,则A
1
A⊥A
1
B,利用线面垂直的判定得A
1
A⊥平面A
1
BC,则利用线面垂直的性质得A
1
A⊥A
1
C;第二问,建立空间直角坐标系,得到面上的点的坐标,计算出向量坐标,求出平面
和平面
的法向量,利用夹角公式计算出二面角的余弦值.
(1)因为平面A
1
ACC
1
⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A
1
ACC
1
,
所以A
1
A⊥BC.
因为A
1
B⊥C
1
C,A
1
A∥C
1
C,所以A
1
A⊥A
1
B,
所以A
1
A⊥平面A
1
BC,所以A
1
A⊥A
1
C. 5分
(2)建立如图所示的坐标系C-xyz.
设AC=BC=2,因为A
1
A=A
1
C,
则A(2,0,0),B(0,2,0),A
1
(1,0,1),C(0,0,0).
=(0,2,0),
=(1,0,1),
=(-2,2,0).
设n
1
=(a,b,c)为面BA
1
C的一个法向量,则n
1
·
=n
1
·
=0,
则
,取n
1
=(1,0,-1).
同理,面A
1
CB
1
的一个法向量为n
2
=(1,1,-1). 9分
所以cosán
1
,n
2
ñ=
=
,
故二面角B-A
1
C-B
1
的余弦值为
. 12分
举一反三
如图,四棱锥
中,平面
平面
,
//
,
,
,且
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求
和平面
所成角的正弦值;
(3)在线段
上是否存在一点
使得平面
平面
,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,直三棱柱
的底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
底面
,且
,
是
的中点,
是
上的点.
(1)求异面直线
与
所成角
的大小(结果用反三角函数表示);
(2)若
,求线段
的长.
题型:不详
难度:
|
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(12分)(2011•重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1
(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;
(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥E﹣ABCD中,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点
(1)求证:DE∥平面FGH;
(2)若点P在直线GF上,
=λ
,且二面角D﹣BP﹣A的大小为
,求λ的值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四棱锥
中,
,
,
,平面
⊥平面
,
是线段
上一点,
,
.
(1)证明:
⊥平面
;
(2)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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