在斜三棱柱中,平面平面ABC,,,.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.

在斜三棱柱中,平面平面ABC,,,.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
在斜三棱柱中,平面平面ABC,.
(1)求证:
(2)若,求二面角的余弦值.

答案
(1)证明过程详见解析;(2).
解析

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1,则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC,由A1B⊥C1C,利用平行线A1A∥C1C,则A1A⊥A1B,利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC,则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C;第二问,建立空间直角坐标系,得到面上的点的坐标,计算出向量坐标,求出平面和平面的法向量,利用夹角公式计算出二面角的余弦值.
(1)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A1ACC1
所以A1A⊥BC.
因为A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以A1A⊥A1B,
所以A1A⊥平面A1BC,所以A1A⊥A1C.      5分

(2)建立如图所示的坐标系C-xyz.
设AC=BC=2,因为A1A=A1C,
则A(2,0,0),B(0,2,0),A1(1,0,1),C(0,0,0).
=(0,2,0),=(1,0,1),=(-2,2,0).
设n1=(a,b,c)为面BA1C的一个法向量,则n1·=n1·=0,
,取n1=(1,0,-1).
同理,面A1CB1的一个法向量为n2=(1,1,-1).   9分
所以cosán1,n2ñ=
故二面角B-A1C-B1的余弦值为.      12分
举一反三
如图,四棱锥中,平面平面,//,,
,且.
(1)求证:平面
(2)求和平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点使得平面平面,请说明理由.

题型:不详难度:| 查看答案
如图,直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,侧棱底面,且的中点,上的点.
(1)求异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示);
(2)若,求线段的长.

题型:不详难度:| 查看答案
(12分)(2011•重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1

(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;
(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥E﹣ABCD中,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点
(1)求证:DE∥平面FGH;
(2)若点P在直线GF上,,且二面角D﹣BP﹣A的大小为,求λ的值.

题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥中,,平面⊥平面是线段上一点,
(1)证明:⊥平面
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.