试题分析:本题主要考查面面垂直、线面垂直、锥体的体积、线面平行、二面角、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,由已知条件知,△ABE为等边三角形,所以取AE中点,则,由面面垂直的性质得B1M⊥面AECD,所以是锥体的高,最后利用锥体的计算公式求锥体的体积;第二问,连结DE交AC于O,由已知条件得AECD为棱形,O为DE中点,在中,利用中位线,得,再利用线面平行的判定得面ACF;第三问,根据题意,观察出ME,MD,两两垂直,所以以它们为轴建立空间直角坐标系,得到相关点的坐标以及相关向量的坐标,利用向量法中求平面的法向量的方法求出平面和平面的法向量,最后利用夹角公式求夹角的余弦. (1)取AE的中点M,连结B1M,因为BA=AD=DC=BC=a,△ABE为等边三角形,则B1M=,又因为面B1AE⊥面AECD,所以B1M⊥面AECD, 所以 4分 (2)连结ED交AC于O,连结OF,因为AECD为菱形,OE=OD所以FO∥B1E, 所以。 7分
(3)连结MD,则∠AMD=,分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系,则,
,,,所以1,,,,设面ECB1的法向量为,, 令x="1," ,同理面ADB1的法向量为 , 所以, 故面所成锐二面角的余弦值为. 12分 |