如图,已知四棱锥,底面是等腰梯形,且∥,是中点,平面,, 是中点.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

如图,已知四棱锥,底面是等腰梯形,且∥,是中点,平面,, 是中点.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,已知四棱锥,底面是等腰梯形,
中点,平面
中点.

(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)
解析

试题分析:(1)根据中位线可得,从而可证得∥平面。证四边形为平行四边形可得∥平面,从而可证得平面平面。(2)法一:延长交于点,连结,则平面,易证△与△全等。过的垂线,则与垂足的连线也垂直。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标,在根据数量积公式求各面的法向量,在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。
试题解析:(1) 证明: ,2分
平行且等于,即四边形为平行四边形,所以.
6分
(2) 『解法1』:
延长交于点,连结,则平面,易证△与△全等,过,连,则,由二面角定义可知,平面角为所求角或其补角.
易求,又,由面积桥求得,所以
所以所求角为,所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
『解法2』:
为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系.

,8分
所以
可求得平面的法向量为

可求得平面的法向量为

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分
举一反三
如图,已知平面四边形中,的中点,
.将此平面四边形沿折成直二面角
连接,设中点为

(1)证明:平面平面
(2)在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,正三棱柱所有棱长都是2,D棱AC的中点,E是棱的中点,AE交于点H.

(1)求证:平面
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥的底面为正方形,侧面底面为等腰直角三角形,且分别为底边和侧棱的中点.

(1)求证:∥平面
(2)求证:平面
(3)求二面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,

(1)求证:BC平面PBD:
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值;
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值为
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥中,底面为平行四边形,⊥底面
 
(1)证明:平面平面
(2)若二面角,求与平面所成角的正弦值.
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