试题分析:(1)根据中位线可得 ∥ ,从而可证得 ∥平面 。证四边形 为平行四边形可得 ∥平面 ,从而可证得平面 平面 。(2)法一:延长 、 交于点 ,连结 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112507-70439.png) 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112507-61724.png) ,易证△ 与△ 全等。过 作 的垂线,则 与垂足的连线也垂直 。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以 为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标,在根据数量积公式求各面的法向量,在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。 试题解析:(1) 证明: 且 ∥ ,2分 则 平行且等于 ,即四边形 为平行四边形,所以 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112511-46615.png) 6分 (2) 『解法1』: 延长 、 交于点 ,连结 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112507-70439.png) 平面![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112507-61724.png) ,易证△ 与△ 全等,过 作 于 ,连 ,则 ,由二面角定义可知,平面角 为所求角或其补角. 易求 ,又 , ,由面积桥求得 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112513-87669.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112513-23587.png) 所以所求角为 ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112513-97648.png) 因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112508-43534.png) 『解法2』:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112513-64835.jpg) 以 为原点, 方向为 轴,以平面 内过 点且垂直于 方向为 轴 以 方向为 轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则 , , ,
, ,8分 所以 , , 可求得平面 的法向量为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112516-23200.png) 又 , , 可求得平面 的法向量为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105112517-76112.png) 则 , 因此平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 12分 |