如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.（1）求证：AG

题型：不详难度：来源：

如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求证：AG平面BDE;
（2）求：二面角GDEB的余弦值.

答案

（1）见解析（2）

解析

试题分析：（1）由题设，平面ABCD⊥平面BCEG，可证 两两垂直，据此建设立以 为坐标原点的空间直角坐标系，写出 诸点的坐标，求出平面 的一个法向量 ，由于，要证AG平面BDE，只要证即可；
（2）设平面的一个法向量为 ，由求出的坐标，最后利用向量 求出二面角GDEB的余弦值.
试题解析：
解：由平面，平面
,
平面BCEG, ，
由平面，知，.2分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
.3分

（1）设平面BDE的法向量为，则
即 ， ，
平面BDE的一个法向量为..5分
 ，，
，∴AG∥平面BDE. .7分
（2）由（1）知
设平面EDG的法向量为，则 即
平面EDG的一个法向量为..9分
又平面BDE的一个法向量为，
设二面角的大小为，则，
二面角的余弦值为.12分