建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明. (2)取AP中点E,利用向量证明BE⊥平面PAD即可. 【证明】由题意可知: 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD, ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角, ∴∠PBC=30°. ∵PC=2,∴BC=2,PB=4. ∴D(0,1,0),B(2,0,0), A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,), ∴=(0,-1,2),=(2,3,0), =(,0,). (1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则 即∴ 令y=2,得n=(-,2,1). ∵n·=-×+2×0+1×=0, ∴n⊥.又CM⊄平面PAD, ∴CM∥平面PAD. 方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2), 假设∥平面PAD, 则存在x0,y0使=x0+y0,则 方程组的解为 ∴=-+. 由共面向量定理知与,共面,故假设成立. 又∵CM⊄平面PAD, ∴CM∥平面PAD. (2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1), =(-,2,1). 易知PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0, ∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A, ∴BE⊥平面PAD. 又∵BE⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAD. |