如图所示,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB∥A1B1,AB=2A

如图所示,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB∥A1B1,AB=2A

题型:不详难度:来源:
如图所示,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面ABCD,AB∥A1B1,AB=2A1B1=2DD1=2a.

(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值;
(2)已知F是AD的中点,求证:FB1⊥平面BCC1B1.
答案
(1)    (2)见解析
解析
解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),F(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a).

(1)∵=(-a,a,a),=(0,0,a),
∴cos〈〉=
所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.
(2)证明:∵=(-a,-a,a),
=(-2a,0,0),=(0,a,a),
∴FB1⊥BB1,FB1⊥BC.
∵BB1∩BC=B,∴FB1⊥平面BCC1B1.
举一反三
如图,在三棱柱ABC­A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值;
(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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如图(1),四边形ABCD中,E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将图(1)沿直线BD折起,使得二面角A­BD­C为60°,如图(2).

(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.
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如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,BD是对角线,过点A作AE⊥BD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将△ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=.

(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角E­AP­B的余弦值.
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如图,在四棱锥P­ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
(2)求B点到平面PCD的距离;
(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q­AC­D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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如图,四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形,∠FAB=∠DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD.

(1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行;
(2)求二面角F­CD­A的余弦值.
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