解:(1)证明:因为四边形AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
=(0,3,-4),=(4,0,0). 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z), 则即 令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3). 同理可得,平面B1BC1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos〈 n,m〉==. 由题知二面角A1BC1B1为锐角, 所以二面角A1BC1B1的余弦值为. (3)证明:设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且=λ. 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由·=0,即9-25λ=0,解得λ=. 因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B.此时,=λ=. |