在空间直角坐标系O-xyz中,已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA•QB取得最小值时,点Q的坐标

在空间直角坐标系O-xyz中,已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA•QB取得最小值时,点Q的坐标

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在空间直角坐标系O-xyz中,已知


OA
=(1,2,3)


OB
=(2,1,2)


OP
=(1,1,2)
,点Q在直线OP上运动,则当


QA


QB
取得最小值时,点Q的坐标为(  )
A.(
1
2
3
4
1
3
)
B.(
1
2
3
2
3
4
)
C.(
4
3
4
3
8
3
)
D.(
4
3
4
3
7
3
)
答案
∵点Q在直线OP上运动,∴存在实数λ使得


OQ


OP
=(λ,λ,2λ),


QA
=(1-λ,2-λ,3-2λ)


QB
=(2-λ,1-λ,2-2λ)



QA


QB
=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)
=6λ2-16λ+10=6(λ-
4
3
)
2
+
74
9

当且仅当λ=
4
3
时,上式取得最小值,
∴Q(
4
3
4
3
8
3
)

故选C.
举一反三
若向量


a
=(2,λ,1),


b
=(1,-2,2)
,且


a


b
的夹角余弦为
2
3
,则λ等于(  )
A.4B.-4C.-
1
4
D.
1
4
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已知


a
=(-3,2,5)


b
=(1,x,-1)
,且


a


b
=2,则x的值为(  )
A.3B.4C.5D.6
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向量


b


a
=(2,-1,2)共线,且


a


b
=-18,则


b
的坐标为______.
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棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,


BC1


B1D1
=(  )
A.2


2
B.4C.-2


2
D.-4
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A、B是直线l上的两点,AB=4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC=BD=3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是______
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