试题分析:法一:空间向量法。(1)以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标,再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量 所成角的余弦值,但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角,所以两异面 和 所成角的余弦值为向量 所成角的余弦值的绝对值。(2)根据题意设 ,根据 ,可得 的值,根据比例关系即可求得 的值。法二:普通方法。(1)根据异面直线所成角的定义可过 点作 // 交 于 ,则 (或其补角)就是异面直线 与 所成的角. 因为 // 且 // ,则四边形 为平行四边形,则 , ,故可在 中用余弦定理求 。(2)由 可得 ,过 作 , 为垂足。易得证 平面 ,可得 ,从而易得证 // ,可得 ,即可求 的值。 试题解析:解法一: (1)如图所示,以 点为原点建立空间直角坐标系 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004445-11563.png) 则 故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004445-56227.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004446-38320.png) 故异面直线 与 所成角的余弦值为 . (2)设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004438-46465.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004446-94837.png) 在平面 内过 点作 , 为垂足,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004447-18473.png)
,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004436-73088.png) 解法二: (1)在平面 内,过 点作 // 交 于 ,连结 ,则 (或其补角)就是异面直线 与 所成的角.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004449-29452.png) 在 中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004449-27218.png) 由余弦定理得,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004449-83554.png) ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 . (2)在平面 内,过 作 , 为垂足,连结 ,又因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004442-73759.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004450-35211.png) ∴ 平面 , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004444-47167.png) 由平面 平面 ,∴ 平面 ∴ //![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004444-67311.png) 由 得 ,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106004451-32691.png)
,∴ . |