(I) 要证BD1//平面A1DE,只要证明BD1平行该面内的一条直线,取中点,由中位线可证得;(II)等积法求高;(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。 解法一:(I)证明:连结AD1交A1D于F,则F为中点,连结EF,如图.
∵ E为中点,∴ EF//BD1.又EF面A1DE,BD1面A1DE, ∴ BD1//面A1DE.……………3分 (II)在Rt△ABD中,AB=2AD=2,可得BD=, ∴ ,, 设A1到面BDD1的距离为d,则由有 ,即,解得 , 即A1到面BDD1的距离为.……………………………………………8分 (III)连结EC.由,有,, 过D作DH⊥EC于H,连结D1H,由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD, ∴DD1⊥面ABCD.由三垂线定理知:D1H⊥EC,∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角. Rt△EBC中,由,BC=1,得.又DH·EC=DC·BC,代入解得, ∴在Rt△DHD1中,.∴,即二面角D1-EC-D的大小为.…………12分 解法二:(I)同解法一.………………3分 (II)由面ABCD⊥面ADD1A,且四边形AA1D1D为正方形,四边形ABCD为矩形,可得D1D⊥AD,D1D⊥DC,DC⊥DA. 于是以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由AB=2AD=2知:D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0), ∴ =(1,2,0),=(0,0,1),=(0,2,-1).设面BDD1的一个法向量为n1, 则 即 ∴. ∴ 点A1到面BDD1的距离. …………………………8分 (III)由(II)及题意知:E(1,,0),C(0,2,0),,. 设面D1EC的一个法向量为, 则 即可得. 又易知面DEC的一个法向量是(0,0,1), 设D1-EC-D的大小为θ,则,得. 即D1-EC-D的大小为 |