已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求二面角的余弦值

题型：不详难度：来源：

已知直三棱柱中，△为等腰直角三角形，∠＝90°，且＝，、、分别为、、的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求二面角的余弦值

答案

解：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA₁＝4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），       …………（2分）
（1）（，4，0），面ABC的法向量为（0，0，4），
∵，平面ABC，
∴DE∥平面ABC．                  …………（4分）
（2）

 …………（6分）
∴
∵    …………（8分）
（3） 平面AEF的法向量为，设平面 B₁AE的法向量为
   即    …………（10分）
令x＝2，则
∴
∴二面角B₁—AE—F的余弦值为

解析

略