如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE∥AD.(1)求二面角B-AD-F的大
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如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE∥AD.(1)求二面角B-AD-F的大
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如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O
1
的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
答案
(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为
解析
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),
A(0,-3
,0),B(3
,0,0),D(0,-3
,8),
E(0,0,8),F(0,3
,0),
∴
=(-3
,-3
,8),
=(0,3
,-8).
cos〈
,
〉=
=
=-
.
设异面直线BD与EF所成角为
,则
cos
=|cos〈
,
〉|=
.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为
.
举一反三
已知:正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面边长为2
,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:平面B
1
EF⊥平面BDD
1
B
1
;
(2)求点D
1
到平面B
1
EF的距离.
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题型:不详
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(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
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如图所示,正四面体V—ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO、BO、CO两两垂直;
(2)求〈
,
〉.
题型:不详
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如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈
,
〉=
.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.
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