如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与
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如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与
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如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.
答案
AB与平面BDF所成角的正弦值为
.
解析
以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1).
∴
=(0,2,1),
=(1,-2,0).
设平面BDF的一个法向量为
n=(2,a,b),
∵n⊥
,n⊥
,
∴
即
解得a=1,b=-2.∴n=(2,1,-2).
设AB与平面BDF所成的角为
,则法向量n与
的夹角为
-
,
∴cos(
-
)=
=
=
,
即sin
=
,故AB与平面BDF所成角的正弦值为
.
举一反三
已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.
题型:不详
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如图所示,正四面体V—ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO、BO、CO两两垂直;
(2)求〈
,
〉.
题型:不详
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如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈
,
〉=
.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.
题型:不详
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如图所示,平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两
两夹角为60°.
(1)求AC
1
的长;
(2)求BD
1
与AC夹角的余弦值.
题型:不详
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|
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如图所示,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,M为AA
1
的中点,N为A
1
B
1
上的点,且满足
A
1
N=
NB
1
,P为底面正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的中心.求证:MN⊥MC,MP⊥B
1
C.
题型:不详
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