如图4,四边形为正方形,平面,,于点,,交于点.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.

如图4,四边形为正方形,平面,,于点,,交于点.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图4,四边形为正方形,平面于点,交于点.

(1)证明:平面
(2)求二面角的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2).
解析

试题分析:(1)由平面,得到,再由四边形为正方形得到,从而证明平面,从而得到,再结合,即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面;(2)先证明三条直线两两垂直,然后以点为坐标原点, 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值.
试题解析:(1)平面
,又
平面
,又
平面,即平面
(2)设,则中,,又
,由(1)知

,又
,同理
如图所示,以为原点,建立空间直角坐标系,则


是平面的法向量,则,又
所以,令,得
由(1)知平面的一个法向量
设二面角的平面角为,可知为锐角,
,即所求.
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角,属于中等题.
举一反三
(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
求证:

为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若垂直于平面,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分12分)
如图,三棱柱中,侧面为菱形,.

(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,求二面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
(满分14分)如图在三棱锥中,分别为棱的中点,已知

求证(1)直线平面
(2)平面平面.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.
(1)证明:AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
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