试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD为矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为PD平面PAD,所以ABPD (2)求四棱锥体积,关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理:过P作AD的垂线,垂足为O,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,下面用表示高及底面积:设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为 故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大. 求二面角的余弦值,可利用空间向量求解,根据题意可建立空间坐标系,分别求出平面BPC的法向量及 平面DPC的法向量,再利用向量数量积求夹角余弦值即可. 试题解析:(1)证明:ABCD为矩形,故ABAD, 又平面PAD平面ABCD 平面PAD平面ABCD=AD 所以AB平面PAD,因为PD平面PAD,故ABPD (2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG. 故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG 在直角三角形BPC中, 设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为
因为 故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系, 故 设平面BPC的法向量,则由,得 解得 同理可求出平面DPC的法向量,从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
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