试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、二面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问,利用向量法证明平面,利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系,写出点A,P,B坐标,计算出向量和坐标,由于说明,再利用线面平行的判定平面;第二问,利用向量垂直的充要条件证明,而,则利用线面垂直的判定得平面EFD,所以平面EFD的一个法向量为,再利用法向量的计算公式求出平面DEB的法向量,最后利用夹角公式求二面角的正弦值. 如图建立空间直角坐标系,点为坐标原点,设. ……..…1分
(1)证明:连结交于点,连结.依题意得. 因为底面是正方形,所以点是此正方形的中心, 故点的坐标为,且. 所以,即,而平面,且平面, 因此平面. ……5分 (2),又,故,所以. 由已知,且,所以平面. ………7分 所以平面的一个法向量为., 不妨设平面的法向量为 则 不妨取则,即 …10分 设求二面角的平面角为 因为,所以. 二面角的正弦值大小为. ………12分 |