在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.(1)求证:EF∥平面BDC1;  (2)求证:平面.

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且.(1)求证:EF∥平面BDC1;  (2)求证:平面.

题型:不详难度:来源:
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D、E分别是棱A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且
(1)求证:EF∥平面BDC1;  
(2)求证:平面

答案
证明见解析.
解析

试题分析:(1)要证线面平行,就是要在平面内找一条直线与直线平行,本题中容易看出就是要证明 ,而这个在四边形中只要取中点,可证明即得;(2)要证平面,根据线面垂直的判定定理,就是要证与平面内的两条相交直线垂直,观察已知条件,正三棱柱的侧面是正方形,因此有,下面还要找一条垂线,最好在中找一条,在平面中,由平面几何知识易得,又由正三棱柱的性质可得平面,从而,因此有平面,即有,于是结论得证.
(1)证明:取的中点M,因为,所以的中点,
又因为的中点,所以,      2分
在正三棱柱中,分别为的中点,
所以,且,则四边形A1DBM为平行四边形,

所以,所以,                         5分
又因为平面平面,所以,平面          7分
(2)连接,因为在正三角中,的中点,
所以,,所以,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
所以,,因为,所以,四边形为正方形,由分别为的中点,所以,可证得
所以,,即,        11分
又因为在正方形中,,所以,             14分

举一反三
下列四个命题中,正确命题的个数是(    )个
① 若平面平面,直线平面,则
② 若平面平面,且平面平面,则
③平面平面,且,点,若直线,则
④直线为异面直线,且平面平面,若,则.
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱⊥底面 的中点,作于点
(1)求证:平面
(2)求二面角的正弦值.

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已知四棱锥,底面为矩形,侧棱,其中为侧棱上的两个三等分点,如下图所示.
(1)求证:
(2)求异面直线所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
 
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如图,在长方体中,
(1)若点在对角线上移动,求证:
(2)当为棱中点时,求点到平面的距离。

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如图,四棱锥的底面边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点,平面平面平面.
证明:
,求四边形的面积.

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