(Ⅰ)证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD. ∵AB=BC=2,AD=CD=,设AC与BD的交点为O,则BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC. 而PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC. (Ⅱ)若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,故由PA⊥面ABCD,可得GO⊥面ABCD, ∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角. 由题意可得,GO=PA=. △ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12, ∴AC=2,OC=. ∵直角三角形COD中,OD==2, ∴直角三角形GOD中,tan∠DGO==. (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,∵OG⊂平面BGD,∴PC⊥OG,且 PC==. 由△COG∽△PCA,可得,即 ,解得GC=, ∴PG=PC﹣GC=﹣=,∴==. |