如图,以点A为原点,以AD,AA1,AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). (1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE. (2)=(1,-2,-1). 设平面B1CE的法向量m=(x,y,z), 则,即消去x,得y+2z=0, 不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1). 由(1)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1, 可得B1C1⊥平面CEC1, 故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量. 于是cos〈m,〉===,从而sin〈m,〉=. 所以二面角B1—CE—C1的正弦值为. (3)=(0,1,0),=(1,1,1). 设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ). 可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量. 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则 sin θ=|cos〈,〉|= ==, 于是=,解得λ=(负值舍去), 所以AM=. |