试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,关键在于找出线线平行.本题条件含中点,故从中位线上找线线平行. ,分别为,中点,在△中,是中点,是中点,所以∥.又因为平面,平面,所以∥平面.(Ⅱ)求二面角的大小,有两个思路,一是作出二面角的平面角,这要用到三垂线定理及其逆定理,利用侧面底面,可得底面的垂线,再作DF的垂线,就可得二面角的平面角,二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取中点.由侧面底面易得面.以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系.再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系,求出结果,(Ⅲ)存在性问题,一般从假设存在出发,构造等量关系,将存在是否转化为方程是否有解.
证明:(Ⅰ)如图,连结. 因为底面是正方形, 所以与互相平分. 又因为是中点, 所以是中点. 在△中,是中点,是中点, 所以∥. 又因为平面,平面, 所以∥平面. 4分 (Ⅱ)取中点.在△中,因为, 所以. 因为面底面, 且面面, 所以面. 因为平面 所以. 又因为是中点, 所以.
如图,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系. 因为,所以,则,,,,,,,. 于是,,. 因为面,所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量是. 因为所以即 令则. 所以. 由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 10分 (Ⅲ)假设在棱上存在一点,使面.设, 则. 由(Ⅱ)可知平面的一个法向量是. 因为面,所以. 于是,,即. 又因为点在棱上,所以与共线. 因为,, 所以. 所以,无解. 故在棱上不存在一点,使面成立. 14分 |