(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC, 由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PAC. (2)过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC. 如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=. 因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1). 故=(,0,0),=(0,1,1). 设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则所以 不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1). 因为=(0,0,1),=(,-1,0), 设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则所以 不妨令x2=1,则n2=(1,,0). 于是cos〈n1,n2〉==. 所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为 |