如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC, D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.(1)求证:AB⊥平面PCB;(2)求异面直线AP
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如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC, D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.(1)求证:AB⊥平面PCB;(2)求异面直线AP
题型:不详
难度:
来源:
如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC, D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小;
答案
(1)见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)主要考虑证明AB垂直于平面PCB内的两条相交直线.根据PC⊥平面ABC,AB
平面ABC,得到PC⊥AB.根据CD⊥平面PAB,AB
平面PAB,得到OC⊥AB.因此AB平面PCB.
(2)有两种思路,
一是“几何法”,通过“一作,二证,三计算”确定异面直线PA与BC所成的角为
.
二是“向量法”,以B为原点,建立如图所示的坐标系.通过确定向量的坐标
利用
得到异面直线AP与BC所成的角为
试题解析:解法一:(1)∵PC⊥平面ABC,AB
平面ABC,∴PC⊥AB. 2分
∵CD⊥平面PAB,AB
平面PAB,∴OC⊥AB. 3分
又PC
CD=C,∴AB平面PCB. 4分
(2)过点A作AF//BC,且AF=BC,连接PF,CF.
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角. 5分
由(1)可得AB⊥BC,∴CF⊥AF.
由三垂线定理,得PF⊥AF。
则AF=CF=
在Rt△PFA中,
∴异面直线PA与BC所成的角为
. 12分
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)AB⊥平面PCB,∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=
以B为原点,建立如图所示的坐标系.
则A(0,
,0),B(0,0,0),C(
,0,0),P(
,0,2).
8分
则
∴异面直线AP与BC所成的角为
12分
举一反三
如图,在三棱锥
中,
,
,
°,平面
平面
,
、
分别为
、
中点.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求证:
;
(3)求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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设
、
是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面.下列四个命题中,正确的是( )
A.
,
,则
B.
,则
C.
,
,则
D.
,
,则
题型:不详
难度:
|
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下列命题中,错误的是 ( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.如果平面
不垂直平面
,那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
D.若直线
不平行平面
,则在平面
内不存在与
平行的直线
题型:不详
难度:
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设
表示直线
表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若
且
,则
B.若
且
,则
C.若
且
,则
D.若
且
,则
题型:不详
难度:
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如图,在三棱锥
中,
,
,D为AC的中点,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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