如图,在三棱锥中,,,为的中点,为的中点,且为正三角形.(1)求证:平面;(2)若,,求点到平面的距离.

如图,在三棱锥中,,,为的中点,为的中点,且为正三角形.(1)求证:平面;(2)若,,求点到平面的距离.

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥中,的中点,的中点,且为正三角形.

(1)求证:平面
(2)若,求点到平面的距离.
答案
(1)详见解析;(2).
解析

试题分析:(1)由等腰三角形三线合一得到,由中位线得到,从而得到,利用并结合直线与平面垂直的判定定理证明平面,从而得到,再结合以及直线与平面垂直的判定定理证明平面;(2)解法一是利用(1)中的条件得到平面,以点为顶点,为底面计算三棱锥的体积,然后更换顶点,变成以点为顶点,为底面来计算三棱锥,利用等体积法从而计算三棱锥的高,即点到平面的距离;解法二是作或其延长线于点,然后证明平面,从而得到的长度为点到平面的距离,进而计算的长度即可.
试题解析:(1)证明:在正中,的中点,所以
因为的中点,的中点,所以,故
平面
所以平面
因为平面,所以
平面
所以平面

(2)解法1:设点到平面的距离为
因为的中点,所以
因为为正三角形,所以
因为,所以
所以
因为
由(1)知,所以
中,
所以.
因为,所以
,所以
故点到平面的距离为
解法2:过点作直线的垂线,交的延长线于点

由(1)知,平面
所以平面
因为平面,所以
因为,所以平面
所以为点到平面的距离.
因为的中点,所以
因为为正三角形,所以
因为的中点,所以
以下给出两种求的方法:
方法1:在△中,过点的垂线,垂足为点
. 因为
所以.
方法2:在中,.         ①,
中,因为
所以
.                         ②,
由①,②解得.故点到平面的距离为.
举一反三
如图1所示,正△ABC中,CD是AB边上的高, E、F分别是AC、BC的中点.现将△ACD沿CD折起,使平面平面BCD(如图2),则下列结论中不正确的是(  )

A.AB//平面DEF             B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD             D.V三棱锥C—ABD=4V三棱锥C—DEF
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC =60°,AB=PC=2,AP=BP=

(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
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已知直线,平面,且,给出下列命题: 
①若,则m⊥;      ②若,则m∥
③若m⊥,则;      ④若m∥,则.其中正确命题的个数是(   )
A.1B.2C.3D.4

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如图,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC,设点F为棱AD的中点.

(1)求证:DC平面ABC;
(2)求直线与平面ACD所成角的余弦值.
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已知是异面直线,直线∥直线,那么(  )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

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