如图,在三棱锥中,,,为的中点,为的中点,且为正三角形.(1)求证:平面;(2)若,,求点到平面的距离.
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如图,在三棱锥中,,,为的中点,为的中点,且为正三角形.(1)求证:平面;(2)若,,求点到平面的距离.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,
,
,
为
的中点,
为
的中点,且
为正三角形.
(1)求证:
平面
;
(2)若
,
,求点
到平面
的距离.
答案
(1)详见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)由等腰三角形三线合一得到
,由中位线得到
,从而得到
,利用
并结合直线与平面垂直的判定定理证明
平面
,从而得到
,再结合
以及直线与平面垂直的判定定理证明
平面
;(2)解法一是利用(1)中的条件得到
平面
,以点
为顶点,
为底面计算三棱锥
的体积,然后更换顶点,变成以点
为顶点,
为底面来计算三棱锥
,利用等体积法
从而计算三棱锥
的高,即点
到平面
的距离;解法二是作
或其延长线于点
,然后证明
平面
,从而得到
的长度为点
到平面
的距离,进而计算
的长度即可.
试题解析:(1)证明:在正
中,
是
的中点,所以
.
因为
是
的中点,
是
的中点,所以
,故
.
又
,
,
、
平面
,
所以
平面
.
因为
平面
,所以
,
又
,
,
、
平面
,
所以
平面
;
(2)解法1:设点
到平面
的距离为
,
因为
,
是
的中点,所以
,
因为
为正三角形,所以
,
因为
,
,所以
,
所以
,
因为
,
由(1)知
,所以
,
在
中,
,
所以
.
因为
,所以
,
即
,所以
.
故点
到平面
的距离为
.
解法2:过点
作直线
的垂线,交
的延长线于点
,
由(1)知,
平面
,
,
所以
平面
.
因为
平面
,所以
.
因为
,所以
平面
.
所以
为点
到平面
的距离.
因为
,
是
的中点,所以
.
因为
为正三角形,所以
.
因为
为
的中点,所以
.
以下给出两种求
的方法:
方法1:在△
中,过点
作
的垂线,垂足为点
,
则
. 因为
,
所以
.
方法2:在
中,
. ①,
在
△
中,因为
,
所以
,
即
. ②,
由①,②解得
.故点
到平面
的距离为
.
举一反三
如图1所示,正△ABC中,CD是AB边上的高, E、F分别是AC、BC的中点.现将△ACD沿CD折起,使平面
平面BCD(如图2),则下列结论中不正确的是( )
A.AB//平面DEF B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD D.V
三棱锥C—ABD
=4V
三棱锥C—DEF
题型:不详
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC =60°,AB=PC=2,AP=BP=
.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
,平面
,且
,给出下列命题:
①若
∥
,则m⊥
; ②若
⊥
,则m∥
;
③若m⊥
,则
∥
; ④若m∥
,则
⊥
.其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在平面四边形ABCD中,已知
,
,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD
平面BDC,设点F为棱AD的中点.
(1)求证:DC
平面ABC;
(2)求直线
与平面ACD所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知
是异面直线,直线
∥直线
,那么
与
( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
题型:不详
难度:
|
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