试题分析:(1)以为原点,、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,并设,利用空间向量法证明,从而达到证明;(2)设点,求出 平面,利用平面转化为,利用向量坐标运算求出知,从而确定点的坐标,最终得到的长;(3)设,利用空间向量法求出二面角的余弦值的表达式,再结合二面角为这一条件求出的值,从而确定的长度. 试题解析:(1)以为原点,、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系, 设,则,,,,, 故,,,, ,; (2)假设在棱上存在一点,使得平面,此时, 有设平面的法向量为, 平面,,,得, 取,得平面的一个法向量为, 要使平面,只要,即有,由此得,解得,即, 又平面, 存在点,满足平面,此时; (3)连接、,由长方体及,得, ,, 由(1)知,,由,平面, 是平面的一个法向量,此时, 设与所成的角为,得, 二面角的大小为, ,解得,即的长为. |