如图1,在直角梯形中,,,,. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. (1)求证:平面平面;(2
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如图1,在直角梯形中,,,,. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. (1)求证:平面平面;(2
题型:不详
难度:
来源:
如图1,在直角梯形
中,
,
,
,
. 把
沿对角线
折起到
的位置,如图2所示,使得点
在平面
上的正投影
恰好落在线段
上,连接
,点
分别为线段
的中点.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱
上是否存在一点
,使得
到点
四点的距离相等?请说明理由.
答案
(1)证明过程详见解析;(2)正弦值为
;(3)存在,点E即为所求.
解析
试题分析:本题以三棱锥为几何背景考查面面平行和二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,首先由点
的正投影
在
上得
平面
,利用线面垂直的性质,得
,在原直角梯形中,利用已知的边和角,得到
,
,所以得到
为等边三角形,从而知
是
的中点,所以可得
,
,
利用面面平行的判定得出证明;第二问,先建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标,先设出平面
的法向量
,利用
求出
,利用夹角公式求直线
和法向量
所在直线的夹角;第三问,由已知和前2问过程中得到的数据,可以看出
,所以
点即为所求.
试题解析:(I)因为点
在平面
上的正投影
恰好落在线段
上,
所以
平面
,所以
, 1分
因为在直角梯形
中,
,
,
,
,
所以
,
,所以
是等边三角形,
所以
是
中点, 2分
所以
, 3分
同理可证
,
又
,
所以平面
平面
. 5分
(II)在平面
内过
作
的垂线 如图建立空间直角坐标系,则
,
,
, 6分
因为
,
,
设平面
的法向量为
,
因为
,
,
所以有
,即
,
令
则
所以
, 8分
, 10分
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. 11分
(III)存在,事实上记点
为
即可 12分
因为在直角三角形
中,
, 13分
在直角三角形
中,点
,
所以点
到四个点
的距离相等. 14分
举一反三
已知两个不重合的平面
和两条不同直线
,则下列说法正确的是( )
A.若
则
B.若
则
C.若
则
D.若
则
题型:不详
难度:
|
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如图三棱锥
中,
,
是等边三角形.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若二面角
的大小为
,求
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,直线
垂直于⊙
所在的平面,
内接于⊙
,且
为⊙
的直径,点
为线段
的中点.现有结论:①
;②
平面
;③点
到平面
的距离等于线段
的长.其中正确的是( )
A.①②
B.①②③
C.①
D.②③
题型:不详
难度:
|
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设
、
是两个不同的平面,
是一条直线,以下命题:
①若
,
,则
;②若
,
,则
; ③若
,
,则
;④若
,
,则
;其中正确命题的个数是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥
中,
平面
,
,
为侧棱
上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(1)证明:
平面
;
(2)在
的平分线上确定一点
,使得
平面
,并求此时
的长.
题型:不详
难度:
|
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