试题分析:本题考查空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角、直线与平面垂直和平行等基础知识,考查用空间向量解决立体几何中的问题,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先用三角形中位线,证,所以利用线面平行的判定定理,得出平面,同理:平面,把与的夹角转化为与的夹角,利用面面平行,转化到平面的距离为到平面的距离,易得出距离为1,最后求转化后的;第二问,由已知建立空间直角坐标系,写出各点坐标,用反证法,先假设存在,假设,求出向量和坐标,用假设成立的角度,列出夹角公式,解出,如果有解即存在,否则不存在,并可以求出的坐标及. 试题解析:(1)因为分别为的中点,所以.又平面,平面,所以平面,同理:平面. 且,. ∴与的夹角等于与的夹角(设为) 易求. 4分 ∵平面平面,∴到平面的距离即到平面的距离,过作的垂线,垂足为,则为到平面的距离. . (2)因为平面,,所以平面,所以.又因为四边形是正方形,所以. 如图,建立空间直角坐标系,因为,
所以, 假设在线段存在一点使直线与直线所成角为. 依题意可设,其中.由,则. 由因为,,所以, 因为直线与直线所成角为,, 所以,即, 解得,所以,. 所以在线段存在一点,使直线与直线所成角为,此时. |