直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面B1CD;

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面B1CD;

题型:不详难度:来源:
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.

(1)求证:AC⊥B1C;
(2)求证:AC1∥平面B1CD;
答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)证明见解析.
解析

试题分析:(Ⅰ)要证明“线线垂直”,可通过证明“线面垂直”而得到.
由于在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,
所以  AC⊥BC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中C C1⊥AC.
因此可得到AC⊥平面B B1C1C.证得AC⊥B1C.
(Ⅱ)证明“线线平行”,往往可通过证明“线线平行”或“面面平行”而得到.
注意连结BC1,利用DE为△ABC1的中位线,得到 DE// AC1
从而可得AC1∥平面B1CD.
立体几何中的证明问题,要注意表达的规范性及层次性.
试题解析:证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC⊥BC.

因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1⊥AC.
因为BC∩AC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.
所以AC⊥B1C.
(Ⅱ)连结BC1,交B1C于E.
因为直三棱柱ABC-A1B1C1
所以侧面BB1C1C为矩形,且E为B1C中点.
又D是AB中点,所以DE为△ABC1的中位线,所以DE//AC1
因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,
所以AC1∥平面B1CD.
举一反三
已知是两条不同的直线,是个平面,则下列命题正确的是(   )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则

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如图,在直三棱柱中,D、E分别为、AD的中点,F为上的点,且

(I)证明:EF∥平面ABC;
(Ⅱ)若,求二面角的大小.
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已知中,的中点,分别在线段上的动点,且,把沿折起,如下图所示,

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)当二面角为直二面角时,是否存在点,使得直线与平面所成的角为,若存在求的长,若不存在说明理由。

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已知a、b是不同的直线,是不同的平面,给出下列命题:
①若,a,则a∥ ;   ②若a、b与所成角相等,则a∥b;
③若,则;   ④若a⊥, a⊥,则
其中正确的命题的序号是              .
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如图,直三棱柱中,分别是棱的中点,点在棱上,已知

(1)求证:平面
(2)设点在棱上,当为何值时,平面平面
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