本小题满分12分)已知三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(I)证明

本小题满分12分)已知三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(I)证明

题型:不详难度:来源:
本小题满分12分)

已知三棱锥P­ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,
N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(I)证明:CM⊥SN;(II)求SN与平面CMN所成角的大小.
答案
(1)证明:见解析;(2)SN与平面CMN所成角为45°.
解析
如果已知向量的坐标,求向量的夹角,我们可以分别求出两个向量的坐标,进一步求出两个向量的模及他们的数量积,然后代入公式cosθ得到。
(1)要证明CM⊥SN,我们可要证明 ·=0即可,根据向量数量积的运算,我们不难证明;
(2)要求SN与平面CMN所成角的大小,我们只要利用求向量夹角的方法,求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角,再由它们之间的关系,易求出SN与平面CMN所成角的大小.
解:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M,N,S.
(1)证明:=(1,-1,),,因为·=-+0=0,
所以CM⊥SN.
(2),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则
,取x=2,得a=(2,1,-2).因为|cos〈a,〉|=
所以SN与平面CMN所成角为45°.
举一反三
关于直线a,b,c以及平面M,N,给出下面命题:
①若a//M,b//M, 则a//b  ②若a//M, b⊥M,则b⊥a   ③若aM,bM,且c⊥a,c⊥b,则c⊥M   ④若a⊥M, a//N,则M⊥N,其中正确命题的个数为(   )
A.0个B.1个C.2个D.3个

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下列命题中,真命题是           (将真命题前面的编号填写在横线上).
①已知平面和直线,若,则
②已知平面和两异面直线,若,则
③已知平面和直线,若,则
④已知平面和直线,若,则
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(本小题满分12分)如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,分别是的中点,点在直线上,且
(1)证明:无论取何值,总有
(2)当取何值时,直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值;
(3)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为30º,若存在,试确定点的位置,若不存在,请说明理由.
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( 12分)如图,在四棱锥中,侧面是正三角形,底面是边长为2的正方形,侧面平面的中点.

①求证:平面
②求直线与平面所成角的正切值.
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(本小题12分)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.

(Ⅰ)求证:DM∥平面APC;
(II)求证:平面ABC⊥平面APC.
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