如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,中点.
(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为
解析
(I)由于侧面SBC为等边三角形,O为BC的中点,所以
只需再取AC的中点M,连接SM,则根据条件易证:,
问题得证.
(II)解决本小题的关键是找出二面角的平面角,具体做法是取中点,连结,由(Ⅰ)知
为二面角的平面角.
(Ⅰ)由题设,连结为等腰直角三角形,
所以,且,又为等腰三角形,
,且,从而.  
所以为直角三角形,
.  所以平面.…………………6分
(Ⅱ)解法一:取中点,连结,由(Ⅰ)知
为二面角的平面角.
平面
所以,又

所以二面角的余弦值为………………13分
解法二:以为坐标原点,射线分别为轴、轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系
   
,则
的中点

等于二面角的平面角.……10分

所以二面角的余弦值为.………12分
举一反三
如右图,在四棱锥中,底面为平行四边形,中点,平面中点.
(1)证明://平面
(2)证明:平面
(3)求直线与平面所成角的正切值.
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若直线∥平面,直线,则的位置关系是           (  )
A.B.异面
C.相交D.没有公共点

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下列命题中:
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;
(4)、垂直于同一平面的两直线平行.
其中所有正确的命题有_____________。
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如图,四边形中(图1),的中点,将(图1)沿直线折起,使二面角(如图2)
(1)求证:平面
(2)求二面角A—DC—B的余弦值。
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(本小题满分13分)如图(甲),在直角梯形ABED中,AB//DE,ABBE,ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC ,AD ,DE的中点,现将△ACD沿CD折起,使平面ACD平面CBED,如图(乙).
(1)求证:平面FHG//平面ABE;
(2)记表示三棱锥B-ACE 的体积,求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-AB-C的余弦值.
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