本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。 (1)第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直,然后利用判定定理得到。 (2)第二问先根据线面角的定义,作出线面角,然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。 解:(1)∵ 与平面 所成角的正切值依次 是 和 , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032253-13591.png) ∵ 平面 ,底面 是矩形 ∴ 平面 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032254-77895.png) ∵ 是 的中点 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032254-67006.png) ∴ …………………………7分 (2)解法一:∵ 平面 ,∴ ,又 , ∴ 平面 ,取 中点 , 中点 ,联结 , 则 且 , 是平行四边形, ∴ 即为直线 与平面 所成的角. 在 中,, ,
, ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 解法二:分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,依题意, ,则各点坐标分别是
, , , ,
,∴ , , , 又∵ 平面 , ∴平面 的法向量为 , 设直线 与平面 所成的角为 ,则
, ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………………………15分 解:(1)∵ 与平面 所成角的正切值依次 是 和 , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032253-13591.png) ∵ 平面 ,底面 是矩形 ∴ 平面 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032254-77895.png) ∵ 是 的中点 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106032254-67006.png) ∴ …………………………7分 (2)解法一:∵ 平面 ,∴ ,又 , ∴ 平面 ,取 中点 , 中点 ,联结 , 则 且 , 是平行四边形, ∴ 即为直线 与平面 所成的角. 在 中,, ,
, ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 解法二:分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,依题意, ,则各点坐标分别是
, , , ,
,∴ , , , 又∵ 平面 , ∴平面 的法向量为 , 设直线 与平面 所成的角为 ,则
, ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . …………………………15分 |