如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线与平面所成

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线与平面所成

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.

(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值;
(Ⅲ)已知M在线段PC上,且BM=DM=,CM=3,求二面角的余弦值.
答案

(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD是菱形, 所以ACBD………………1分
又因为PA⊥平面ABCD,  平面ABCD, 所以PABD, …3分
又因为,所以BD⊥平面PAC. ………………4分
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
(I)由条件易知ACBD,然后再证PABD即可.
(II)本小题关键是找或做出PB与平面PAD所成的角,过B作,连结PE,
因为PA⊥平面ABCD,  平面ABCD, 所以PABE又因为,所以BE⊥平面PAD.所以是直线与平面所成角.过B作,连结PE,
因为PA⊥平面ABCD,  平面ABCD, 所以PABE
又因为,所以BE⊥平面PAD. ………………5分
所以是直线与平面所成角. ………………6分
△BEP中, ,, ………………7分
所以
所以是直线与平面所成角的正切值. ………………8分
(Ⅲ)设F是MC的中点,连结BF,DF,
因为BM=BC,△BMC为等腰△,
所以BF⊥MC 同理DF⊥MC                ………………9分
所以为二面角的平面角.………10分
在△中,………………11分
由余弦定理得
所以二面角的余弦值为.………………12分
举一反三
已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;
②若m∥α, m∥β , 则α∥β;
③若m∥α, n∥β , m∥n,则α∥β.
其中正确命题的个数是(     )
A.0B.1C.2D.3

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(本小题8分)已知三棱锥A—BCD及其三视图如图所示.

(1)求三棱锥A—BCD的体积与点D到平面ABC的距离;
(2)求二面角 B-AC-D的正弦值.
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在下列条件中,可判断平面与平面平行的是(  )
A.都垂直于平面
B.内存在不共线的三点到平面的距离相等
C.内两条直线,且
D.是两条异面直线,且

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(本小题共12分)
如图,在直三棱柱中,,点的中点,

(1)求证:平面
(2)求证:平面
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(本小题共12分)
如图,已知四棱锥中,底面,四边形是直角梯形,

(1)证明:
(2)在线段上找出一点,使平面
指出点的位置并加以证明;
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