(本小题满分14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起

(本小题满分14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到DA1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)

(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小。
答案
(I)见解析;(II)直线A1E与面A1BP所成角为60o
解析
本试题主要是考查了折叠图的运用。求证线面的垂直和线面较大 求解的综合运用。
(1)由于在图1中,取BE的中点D,连结DF,
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1,∴EF⊥AD。并且在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角,那么利用条件可证明。
(2))利用三垂线的逆定理作出线面角。设A1E在面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于Q,
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角,然后借助于直角三角形求解。
解:不妨设正三角形的边长为3,则
(I)在图1中,取BE的中点D,连结DF,
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1,∴EF⊥AD。
在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角,
由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE。
又BEEF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP。  --------------------------------7分
(II)在图2中,A1E⊥面BEP,∴A1E⊥BP,∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于Q,
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q。
在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60o,∴△EBP为正三角形,∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且EQ=,而A1E=1,
∴在Rt△A1EQ中,,即直线A1E与面A1BP所成角为60o
----------------------------14分
举一反三
(本题满分14分)如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC;
(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  
的取值范围,使得二面角P-AD-M为钝二面角。
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(本题满分14分)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1面ABC,BCAC,BC=AC=2,D为AC的中点。

(1)若AA1=2,求证:
(2)若AA1=3,求二面角C1—BD—C的余弦值.
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是不同的直线,是不同的平面,则下列结论错误的是(    )
A.若
B.若,则
C.若,则
D.若,则

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(本小题满分12分)如图,在三棱锥中,底面是边长为4的正三角形,平面,M,N分别为AB,SB的中点.

(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
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(本小题满分12分)
如图所示, 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CDPA = 1, PD=,EPD上一点,PE = 2ED

(Ⅰ)求证:PA^平面ABCD
(Ⅱ)求二面角D-ACE的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF // 平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
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