本试题主要是考查了线面的垂直的证明以及二面角的求解,以及线面平行的判定定理的综合运用 (1)根据已知结合勾股定理和线面垂直的判定定理得到。 (2)建立空间直角坐标系,然后设出点的坐标和向量的坐标,借助于向量的数量积的性质,表示向量的夹角,得到二面角的平面角的求解。 (3)假设存在点PC的中点F, 使得BF//平面AEC.,那个根据假设推理论证,得到结论。 解:(Ⅰ) PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" , PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ^ AD ---2分 又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D, PA ^平面ABCD -------4分 (Ⅱ)过E作EG//PA 交AD于G, 从而EG ^平面ABCD, 且AG =" 2GD" , EG = PA = , ------5分 连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ,交AC于H,
连接EH.GH ^ AC , EH ^ AC , Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角. -----6分 tanÐEHG = = .二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------7分 (Ⅲ)以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ,), = (1,1,0), = (0 , , ) 设平面AEC的法向量= (x, y,z) , 则 ,即:, 令y =" 1" , 则 = (- 1,1, - 2 ) -------------10分 假设侧棱PC上存在一点F, 且= , (0 £ £ 1), 使得:BF//平面AEC, 则× = 0. 又因为:= + = (0 ,1,0)+ (-,-,)= (-,1-,), × =+ 1- - 2 =" 0" , = , 所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC. ----------------12分 |