第一问中利用以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系 设为平面的法向量,又正方体的棱长为1, 借助于,得到结论 第二问中,平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 则sin θ== (*) 而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ=除外), 由(*)式,当λ=时,(sin θ)max=,(tan θ)max=2 第三问中,平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z), 由(1)得=(λ,-1,). 由求出法向量,然后结合二面角得到解得λ=-. (1)证明 如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.则P(λ,0,1),N(,,0), 从而=(-λ, ,-1),=(0,1, ). =(-λ)×0+×1-1×=0,
∴PN⊥AM. -------------4分 (2)解 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 则sin θ== (*) 而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ=除外), 由(*)式,当λ=时,(sin θ)max=,(tan θ)max=2 -----------6分 (3)平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z), 由(1)得=(λ,-1,). 由 令x=3,得m=(3,2λ+1,2(1-λ)). ∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°, ∴|cos〈m,n〉|===,解得λ=-. 故在线段A1B1上不存在点P --------------6分 |