(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴•=0,即⊥, ∴AC⊥BC1. (2)假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,则=λ=(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,则D(3-3λ,4λ,0),=(3-3λ,4λ-4,-4), 又=(0,-4,-4),=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,所以存在实数m,n,使=m+n成立, ∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4, 所以λ=,所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,且D为AB的中点. |