如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(I)求向量OD的
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如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(I)求向量OD的
题型:不详
难度:
来源:
如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(
3
2
,
1
2
,0
),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(I)求向量
OD
的坐标;
(Ⅱ)设向量
AD
和
BC
的夹角为θ,求cosθ的值.
答案
(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,
在Rt△BDC中,因为∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,
所以可得BD=1,CD=
3
,
∴DE=CD•sin30°=
3
2
.
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-
1
2
=
1
2
,
∴D点坐标为(0,-
1
2
,
3
2
),
所以
OD
=(0,-
1
2
,
3
2
).
(2)依题意可得:
OA
=(
3
2
,
1
2
,0),
OB
=(0,-1,0),
OC
=(0,1,0)
,
所以
AD
=
OD
-
OA
=(-
3
2
,-1,
3
2
),
BC
=
OC
-
OB
=(0,2,0)
.
因为向量
AD
和
BC
的夹角为θ,
所以cosθ=
AD
•
BC
|
AD
|•|
BC
|
=
-
3
2
×0+(-1)×2+
3
2
×0
(-
3
2
)
2
+
(-1)
2
+
(
3
2
)
2
•
0
2
+
2
2
+
0
2
=
-
1
5
10
.
举一反三
如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PB⊥DE;
(Ⅱ)若PE⊥BE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD=AD=2.
(Ⅰ)求证:AD⊥平面PQB;
(Ⅱ)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA
∥
平面MQB;
(Ⅲ)若PA
∥
平面MQB,平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大小.
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为棱CC
1
的中点
(1)求证:D
1
B
1
⊥AE;
(2)求D
1
B
1
与平面ABE所成角θ的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,矩形ABCD中,BC=2,AB=1,PA丄平面ABCD,BE
∥
PA,BE=
1
2
PA
,F为PA的中点.
(I)求证:DF
∥
平面PEC
(II)若PE=
2
,求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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[理]如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E是棱A
1
D
1
的中点,H为平面EDB内一点,
H
C
1
={2m,-2m,-m}(m<0)
(1)证明HC
1
⊥平面EDB;
(2)求BC
1
与平面EDB所成的角;
(3)若正方体的棱长为a,求三棱锥A-EDB的体积.
[文]若数列{a
n
}的通项公式
a
n
=
1
(n+1)
2
(n∈
N
+
)
,记f(n)=(1-a
1
)(1-a
2
)…(1-a
n
).
(1)计算f(1),f(2),f(3)的值;
(2)由(1)推测f(n)的表达式;
(3)证明(2)中你的结论.
题型:不详
难度:
|
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