(Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,….(2分) ∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面PEB, 又∵PB⊂平面PEB,∴BP⊥DE;….(4分) (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),…(5分) 设PE=a,则B(0,4-a,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0), P(0,0,a),…(7分) 可得=(0,4-a,-a),=(2,-2,0),…(8分) 设面PBC的法向量=(x,y,z), ∴令y=1,可得x=1,z= 因此=(1,1,)是面PBC的一个法向量,…(10分) ∵=(a,0,-a),PD与平面PBC所成角为30°,…(12分) ∴sin30°=|cos<,>|,即||=,…(11分) 解之得:a=,或a=4(舍),因此可得PE的长为.…(13分) |