(I)证明:∵在正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点, ∴O为BD的中点, 又M为AB的中点, ∴OM∥AD. 又AD⊂平面ACD,OM⊄平面ACD, ∴OM∥平面ACD. 证明:(II)在△AOC中,∵AC=1,AO=CO=, ∴AC2=AO2+CO2,∴AO⊥CO. 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线, ∴AO⊥BD, 又BD∩CO=O ∴AO⊥平面BCD. (III)由(II)知AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直, 如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz. 则O(0,0,0),A(0,0,),C(,0,0),B(0,-,0),D(0,,0), =(0,0,)是平面BCD的一个法向量. =(,0,-),=(,,0), 设平面ABC的法向量=(x,y,z), 则•=0,•=0. 即 | (x,y,z)•(,0)=0 | (x,y,z)•(,0,-)=0 |
| | , 所以y=-x,且z=x,令x=1,则y=-1,z=1, 解得=(1,-1,1).
从而cos〈,>==, 二面角A-BC-D的余弦值为.
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