(Ⅰ)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD. 由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点. 又D为BC中点,所以OD为△A1BC中位线, 所以A1B∥OD, 因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1, 所以A1B∥平面ADC1.…(4分) (Ⅱ)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA,BC,BB1两两垂直. 如图建立空间直角坐标系B-xyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0). 所以=(1,-2,0),=(2,-2,1) 设平面ADC1的法向量为=(x,y,z),则有 所以取y=1,得=(2,1,-2). 平面ADC的法向量为=(0,0,1). 由二面角C1-AD-C是锐角,得cos<,>==.…(8分) 所以二面角C1-AD-C的余弦值为. (Ⅲ)假设存在满足条件的点E. 因为E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2. 所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1). 因为AE与DC1成60°角,所以||=. 即||=,解得λ=1,舍去λ=3. 所以当点E为线段A1B1中点时,AE与DC1成60°角.…(12分)
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