(Ⅰ)由图可知,ABC-A1B1C1为直三棱柱,侧棱CC1=a,底面为直角三角形,AC⊥BC,AC=3,BC=4 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(3,0,0),B1(0,4,a),N(,0,a), 所以,M(,2,),=(0,-2,-),=(-3,4,a) 因为MN⊥AB1,所以•=(0,-2,-)•(-3,4,a)=0 解得:a=4…(3分) 此时,=(0,-2,-2),平面BCC1B1的法向量=(1,0,0) ∴•=(1,0,0)•(0,-2,-2)=0 ∴与平面BCC1B1的法向量垂直,且MN⊄平面BCC1B1 ∴MN∥平面BCC1B1…(6分) (Ⅱ)平面ABC的法向量=(0,0,1),设平面AB1C1的法向量为=(x,y,1),平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角θ的大小,法向量满足:•=0,•=0 因为A(3,0,0),C1(0,0,4),B1(0,4,4),=(-3,0,4),=(-3,4,4) 所以, | •=(-3,0,4)•(x,y,1)=-3x+4=0 | •=(-3,4,4)•(x,y,1)=-3x+4y+4=0 |
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所以,,=(,0,1) 所以,cosθ=== 所以平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的余弦值为…(13分)
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