(Ⅰ)证明:取AB中点O,连接EO,DO. 因为EB=EA,所以EO⊥AB.…(1分) 因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.…(2分) 因为EO∩OD=O 所以AB⊥平面EOD.…(3分) 因为ED⊂平面EOD 所以AB⊥ED.…(4分) (Ⅱ)因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB 所以EO⊥平面ABCD, 因为OD⊂平面ABCD,所以EO⊥OD. 由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.…(5分) 因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE,设OB=1,所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1). 所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).…(7分) 设直线EC与平面ABE所成的角为θ, 所以sinθ=|cos〈,>|==, 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.…(9分) (Ⅲ)存在点F,且=时,有EC∥平面FBD.…(10分) 证明如下:由==(-,0,-),F(-,0,),所以=(,0,-). 设平面FBD的法向量为=(a,b,c),则有 所以取a=1,得=(1,1,2).…(12分) 因为•=(1,1,-1)•(1,1,2)=0,且EC⊄平面FBD,所以EC∥平面FBD. 即点F满足=时,有EC∥平面FBD.…(14分)
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