以A1为原点,A1B、A1C、A1A分别为x轴、y轴、z轴,建立坐标系如图所示 可得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0), B(1,0,1),P(0,2,0) (I)在△PAA1中,C1D=AA1,则D(0,1,) ∴=(1,0,1),=(0,1,), =(-1,2,0) 设平面BDA1的一个法向量为=(x,y,z) 则,取z=-1,得=(1,,-1) ∵•=1×(-1)+×2+(-1)×0=0 ∴直线PB1与平面BDA1的法向量垂直,可得PB1∥平面BDA1; (II)由(I)知平面BDA1的一个法向量=(1,,-1) 又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量 ∴cos<,>==,即二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为 因此,二面角A-A1D-B的大小为arccos; (III)根据点Q在B1P上,设Q的坐标为Q(λ,2-2λ,0) ∵D(0,1,),∴=(λ,1-2λ,-) 若DQ⊥平面A1BD,则平面BDA1的法向量=(1,,-1)与垂直 可得•=0,即λ×1+(1-2λ)×+(-)×(-1)=0, 解之得1=0矛盾 故向量与不可能垂直,即直线B1P上不存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD. |