附加题(必做题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)设AD=λAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为92
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附加题(必做题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)设AD=λAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为92
题型:不详
难度:
来源:
附加题(必做题)
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=3,BC=4,AB=5,AA
1
=4.
(1)设
AD
=λ
AB
,异面直线AC
1
与CD所成角的余弦值为
9
25
,求λ的值;
(2)若点D是AB的中点,求二面角D-CB
1
-B的余弦值.
答案
(1)以CA,CB,CC
1
分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标,
因为AC=3,BC=4,AA
1
=4,所以A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C
1
=(0,0,4),
所以
A
C
1
=(-3,0,4)
,因为
AD
=λ
AB
,
所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以
CD
=(-3λ+3,4λ,0)
,
因为异面直线AC
1
与CD所成角的余弦值为
9
25
,
所以
|cos<
A
C
1
,
CD
>|=
|9λ-9|
5
(3-3λ)
2
+16
λ
2
=
9
25
,解得
λ=
1
2
.…(4分)
(2)由(1)得B
1
(0,4,4),因为 D是AB的中点,所以
D(
3
2
,2,0)
,
所以
CD
=(
3
2
,2,0)
,
C
B
1
=(0,4,4)
,平面CBB
1
C
1
的法向量
n
1
=(1,0,0),
设平面DB
1
C的一个法向量
n
2
=(x
0
,y
0
,z
0
),
则
n
1
,
n
2
的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB
1
-B的大小,
由
n
2
•
CD
=0
n
2
•
CB
1
=0
得
3
2
x
0
+2
y
0
=0
4
y
0
+4
z
0
=0
令x
0
=4,则y
0
=-3,z
0
=3,
所以
n
2
=(4,-3,3),
∴cos<
n
1
,
n
2
>=
n
1
•
n
2
|
n
1
|•|
n
2
|
=
4
34
=
2
34
17
.
所以二面角D-B
1
C-B的余弦值为
2
34
17
. …(10分)
举一反三
如图:在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知AB=4,AD=3,AA
1
=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-C
1
的大小;
(2)求异面直线EC
1
与FD
1
所成角的大小;
(3)求异面直线EC
1
与FD
1
之间的距离.
题型:不详
难度:
|
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向量
a
=(2,-1,4)
与
b
=(-1,1,1)
的夹角的余弦值为______.
题型:不详
难度:
|
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若向量
a
=(1,λ,2),
b
=(-2,1,1),
a
,
b
夹角的余弦值为
1
6
,则λ等于( )
A.1
B.-1
C.±1
D.2
题型:不详
难度:
|
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设向量
a
=(3,5,-4),
b
=(2,1,8)
,计算
2
a
+3
b
,3
a
-2
b
,
a
•
b
及
a
与
b
的夹角,并确定当λ,μ满足什么关系时,使
λ
a
+μ
b
与z轴垂直.
题型:不详
难度:
|
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已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,则直线DA
1
与AC间的距离为______.
题型:不详
难度:
|
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