已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E分别是棱C1D1的中点,试求:(1)AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值;(2)二面角C1-DB-A的余弦值.

已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E分别是棱C1D1的中点,试求:(1)AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值;(2)二面角C1-DB-A的余弦值.

题型:不详难度:来源:
已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E分别是棱C1D1的中点,试求:
(1)AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值;
(2)二面角C1-DB-A的余弦值.魔方格
答案
以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:
魔方格

(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).


AE
=(-2,1,2)
,平面


BCC1B1
的法向量为


n
=(0,1,0)

设AE与平面BCC1B1所成的角为θ.sinθ=|cos<


AE


n
>|
=
|


AE


n
|
|


AE
| |


n
|
=
1


9
=
1
3

∴sinθ=
1
3

(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),


DA
=(1,0,0)


DB
=(1,1,0)


DC1
=(0,1,1)

设平面


DBC1
的法向量为


n1
=(x,y,z),则







n1


DB
=x+y=0


n1


DC1
=y+z=0

令y=-1,则x=1,z=1.∴


n1
=(1,-1,1).取平面ADB的法向量为


n2
=(0,0,1)

设二面角C1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.
cos<


n1


n2
=


n1


n2
|


n1
| |


n2
|
=
1


3
=


3
3

cosα=-


3
3
举一反三
附加题(必做题)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)设


AD


AB
,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为
9
25
,求λ的值;
(2)若点D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.魔方格
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如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-C1的大小;
(2)求异面直线EC1与FD1所成角的大小;
(3)求异面直线EC1与FD1之间的距离.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
向量


a
=(2,-1,4)


b
=(-1,1,1)
的夹角的余弦值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
若向量


a
=(1,λ,2),


b
=(-2,1,1),


a


b
夹角的余弦值为
1
6
,则λ等于(  )
A.1B.-1C.±1D.2
题型:不详难度:| 查看答案
设向量


a
=(3,5,-4),


b
=(2,1,8)
,计算2


a
+3


b
,3


a
-2


b


a


b


a


b
的夹角,并确定当λ,μ满足什么关系时,使λ


a


b
与z轴垂直.
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