如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点, (Ⅰ)
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点, (Ⅰ)
题型:山西省月考题
难度:
来源:
如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点,
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值。
答案
(Ⅰ)证明:设F为DC的中点,连接BF,
则DF=AB,
∵AB⊥AD,AB=AD,AB∥DC,
∴四边形ABFD为正方形,
∵O为BD的中点,
∴O为AF,BD的交点,
∵PD=PB=2,PO⊥BD,
∵
,
∴
,
在三角形PAO中,
,
∴PO⊥AO,
∵
,
∴PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知PO⊥平面ABCD,
又AB⊥AD,
所以过O分别做AD,AB的平行线,
以它们作x,y轴,以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知得:
,
,
,
,
则
,
,
∴
,
∴
,
∵
,
∴OE∥平面PDC;
(Ⅲ)解:设平面PDC的法向量为
,
直线CB与平面PDC所成角θ,
则
,解得
,
令
,
则平面PDC的一个法向量为
,
又
,
则
,
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为
。
举一反三
如图,在三棱锥-P-ABCD中,平面ABC⊥平面APC,AB=BC=AP=PC=
,∠ABC=∠APC=90°,
(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(2)若动点M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值为
,求BM的最小值。
题型:江苏期末题
难度:
|
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如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点,
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面BEC;
(Ⅲ)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。
题型:北京期末题
难度:
|
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如图所示,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,CA=CB=2,∠BCA=90°,棱AA
1
=4,E、M、N分别是CC
1
、A
1
B
1
、AA
1
的中点,
(1)求证:A
1
B⊥C
1
M;
(2)求BN的长;
(3)求二面角B
1
-A
1
E-C
1
平面角的余弦值。
题型:北京期末题
难度:
|
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1,
(Ⅰ)证明:EM⊥BF;
(Ⅱ)求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值。
题型:浙江省月考题
难度:
|
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如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2
,BC=6,
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-BD-A的大小。
题型:贵州省月考题
难度:
|
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