第一问中利用数列的赋值思想,由定积分得到 m=1,则可以得到 借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和,并猜想得到通项公式。运用数学归纳法加以证明即可。 解(I) 易得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106070029-65925.png) ∵an>0,∴Sn>0, 由S1= (a1+ ),变形整理得 =1, 取正根得S1=1. 由S2= (a2+ )及a2=S2-S1=S2-1得 S2= (S2-1+ ),变形整理得 =2,取正根得S2= . 同理可求得S3= .由此猜想Sn= . (II)用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,上面已求出S1=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即Sk= . 那么,当n=k+1时, Sk+1= (ak+1+ )= (Sk+1-Sk+ ) = (Sk+1- + ). 整理得S =k+1,取正根得Sk+1= . 故当n=k+1时,结论成立.(11分) 由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,Sn= 都成立. |