在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍（）。（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。

题型：不详难度：来源：

在数列中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n－1倍（）。
（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明。

答案

（1）数列的前5项是：，，，，
（2）证明见解析

解析

（1）由已知，，分别取，得：
，                 ，
，      
所以数列的前5项是：，，，，
（2）由（1）中的分析可以猜想。下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，公式显然成立。②假设当时成立，即，那么由已知，得，
即    所以
即，又归纳假设，得：
所以，即当时，公式也成立
由①，②，对一切，都有成立。